¿Y para qué la matemática y la física?: Matemáticas Grado 6

SEMANA DE TRABAJO 1, 2, 3 y 4 - TERCER PERIODO: AGOSTO 31 – SEPTIEMBRE 25

GRADO 6: GUÍA DE TRABAJO No. 2 - TIEMPO: 20 HORAS

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS, FRACCIONES Y DECIMALES

(Adaptado de contenidos para aprender MEN – Vamos a Aprender)

FECHA DE ENTREGA ACTIVIDAD: 25 DE SEPTIEMBRE

Derechos básicos de aprendizaje:

1. Interpreta los números enteros y racionales (en sus representaciones de fracción y de decimal) con sus operaciones, en diferentes contextos al resolver problemas de variación, repartos, particiones, estimaciones, etc. Reconoce y establece diferentes relaciones (de orden y equivalencia y las utiliza para argumentar procedimientos).

2. Utiliza las propiedades de los números enteros y racionales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas.

TEMA 1: Operaciones con fracciones

1. Adición sustracción de fracciones

Fracciones con el mismo denominador:

Para adicionar fracciones con el mismo denominador, se deja el mismo denominador y se adicionan los numeradores. En el caso de la sustracción con el mismo denominador, se deja el mismo denominador y se sustraen los numeradores.

Ejemplos: realizar las siguientes operaciones:

Fracciones con diferente denominador:

Para adicionar o sustraer fracciones con diferente denominador, se expresan con el mismo denominador común y luego se adicionan o se sustraen las fracciones equivalentes a ellas.

Ejemplos: realizar las siguientes operaciones:

En este caso, tenemos que expresar las dos fracciones con el mismo denominador, por tanto, el denominador de la primera fracción la multiplicamos por 2 (numerador y denominador) para que el denominador sea 6, igual al de la segunda fracción:

En este caso, tenemos que encontrar un denominador común para las dos fracciones. Para eso, la primera fracción la multiplicamos por 5 (que es el denominador de la segunda fracción) para que el denominador sea 10; y, la segunda fracción la multiplicamos por 2 (que es el denominador de la primera fracción) para que el denominador sea 10:

2. Multiplicación de fracciones:

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de las fracciones y el denominador, el producto de sus denominadores.

Cuando se multiplican fracciones con diferente signo, primero se multiplican los signos de las fracciones, teniendo en cuenta la ley de los signos (signos iguales, la fracción es positiva o signos diferentes, la fracción es negativa):

Ejemplos: realiza el producto de las siguientes fracciones:

3. División de fracciones:

El cociente de dos fracciones es una fracción que se obtiene como el producto del dividendo por el inverso de la segunda fracción (divisor).

Ejemplo: realizar el cociente (división) de las siguientes fracciones:

Problema de aplicación:

Ejemplo: resuelve el siguiente problema:

“Luisa y Gerardo están preparando galletas: Luis tiene 1/2 taza de azúcar y Gerardo tiene 1/3 de taza. ¿Cuánta azúcar reúnen entre los dos?”

Solución:

Primero, analizamos la situación problema y determinamos los datos que conocemos y la operación que tenemos que realizar.

En este caso tenemos que encontrar la suma de las cantidades de azúcar que tienen Luisa y Gerardo.

Segundo: planteamos y realizamos la operación:

Tercero: verificamos la operación y redactamos la respuesta:

Respuesta: Entre Luisa y Gerardo tienen 5/6 tazas de azúcar.

TEMA 2: Operaciones con números decimales

1. Adición y sustracción de decimales:

Para sumar o restar números decimales:

Primero, se escribe un número debajo de otro, de modo que coincidan las unidades del mismo orden y la coma decimal.

Luego, se suman o restan las cifras como si fueran números naturales.

Para finalizar, en el resultado se escribe la coma debajo de las comas.

Ejemplo: realiza la siguiente suma de decimales:

Observa que los decimales se escriben uno debajo del otro de tal forma que las comas decimales coincidan.

2. Multiplicación de decimales:

Para multiplicar dos números decimales:

Primero, se multiplican como si fueran números naturales.

Luego, En el producto, se separa una coma – empezando a contar por la derecha – un número de cifras iguales a la suma del número de cifras decimales que tienen los dos factores.

Ejemplo: realizar el siguiente producto entre decimales:

(2,34) x (5,2) = 12,168

Observa que el primer factor tiene dos cifras decimales y el segundo factor, un decimal. Por tanto, el producto tiene tres decimales, resultado de la suma de las cifras decimales.

3. División de decimales:

Al dividir decimales se pueden presentar varios casos:

CASO 1: Solo el dividendo es decimal: en ese caso, se efectúa la división de números decimales como si se tratará de números naturales.

Cuando se baje la primera cifra decimal, se escribe la coma en el cociente y se continúa dividiendo.

Ejemplo: realizar el siguiente cociente (división):

CASO 2: El dividendo y el divisor son decimales: En este caso, se multiplica el término que tenga más cifras decimales por una potencia de 10 que lo convierta en entero y se multiplica el otro término por esa misma potencia. A continuación, se divide como su fueran números naturales.

Ejemplo: realizar el siguiente cociente (división) entre decimales:

Observa que el divisor es un número decimal, por tanto, tenemos que multiplicar por una potencia de 10 para convertirlo en un número entero.

Ya que 10,14 tiene dos cifras decimales multiplicamos los dos términos por 100:

Luego, realizamos la división como si fueran números naturales:

Por tanto:

Problema de aplicación:

Ejemplo: resuelve el siguiente problema:

“Las medidas de una puerta son de 2,75 m de largo por 1,25 m de ancho. ¿Cuál es la superficie que ocupa la puerta?”

Solución:

Primero, analizamos la situación problema y determinamos los datos que conocemos y la operación que tenemos que realizar.

En este caso, ya que se trata de una superficie, tenemos que determinar el área de la puerta multiplicando su largo por su ancho.

Segundo: planteamos y realizamos la operación:

Tercero: verificamos la operación y redactamos la respuesta:

Respuesta: La superficie de la puerta es de 3,4375 metros cuadrados.

TEMA 3: Valor absoluto de números enteros

El valor absoluto de un número entero a se define como la distancia entre a y 0. Se simboliza con el número entre dos barras |a|, y es siempre una cantidad positiva.

Ejemplo: determina el valor absoluto de los números enteros: -4 y 4.

Primero, representamos los números enteros en la recta numérica:

Luego, a partir de la representación podemos concluir:

|-4| = 4 y |4| = 4

La distancia de -4 y 4 hasta el origen (0) es de cuatro unidades.

ACTIVIDAD

1. Realiza las siguientes operaciones y simplifica cada resultado:

2. Resuelve los siguientes problemas:

a. Jaime llena un recipiente con 7/12 de galón de agua. Su esposa riega las plantas con ½ de galón. ¿Cuánta agua quedó en el recipiente?

b. En el camión de Don Pablo, 1/5 de las canastillas son de durazno; 1/7 de ciruela; 1/5 de manzana; 1/6 de pera y 1/7 de papayuela. ¿Don Pablo llenó su camión?

Nota: el camión está lleno si la operación da resultado 1.

3. Resuelve las siguientes operaciones:

4. Realiza las siguientes operaciones con números decimales:

5. Resuelve los siguientes problemas con números decimales:

a. Para llegar a un pueblo cercano a una ciudad se recorren 23,6 km en bus hasta cierto punto, y de ahí, se aborda un taxi para recorrer otros 7,4 km. ¿Qué distancia se recorrió?

b. La profundidad de un río es de 4,75 m y la de otro es de 7,459 m. ¿Cuál es el más profundo de los dos? ¿Cuántos metros hay de diferencia?

c. Una empresa exportadora de bananos empaca la fruta de acuerdo con la publicidad que se muestra en la imagen:

¿Cuál es el peso de cada banano?

d. Daniel mide 1,86 m, Juan mide 0,95 m y su hermana Luisa mide 0,63 m.

i. ¿Cuál de ellos es el más alto?

ii. ¿Cuál de ellos es el más bajo?

iii. ¿Cuánto más alto es Daniel que Juan y que Luisa?

6. Encuentra las cifras que hacen falta en las siguientes adiciones:

7. Encuentra las cifras que hacen falta en las siguientes sustracciones:

8. Determinar el valor absoluto de los siguientes números enteros. Realiza la representación en la recta numérica:

a. |-8| =

b. |12| =

c. |-6| =

d. |10| =

EVALUACIÓN:

En el proceso evaluativo se tendrán en cuenta los siguientes factores:

- Comunicación constante y participativa en el grupo de whatsapp o vía telefónica.

- Lectura y apropiación de las temáticas propuestas en la guía.

- Desarrollo de las actividades propuestas en la guía de trabajo.

- Retroalimentación de las actividades propuestas.

- Autoevaluación.

RECOMENDACIÓN IMPORTANTE: LEER LA GUÍA, ESTO NOS PERMITE TENER UNA MAYOR CLARIDAD DEL TEMA Y APROPIACIÓN Y COMPRENSIÓN DE LOS TEMAS TRABAJADOS.

CONTACTO PROFESOR JOSÉ LUIS FUENTES GÓMEZ: Cel. 3183662751

FECHA ENTREGA DE ACTIVIDAD: 25 DE SEPTIEMBRE

SEMANA DE TRABAJO 1, 2, 3 y 4 - TERCER PERIODO: AGOSTO 03 – 28

GUÍA DE TRABAJO No. 1 - TIEMPO: 20 HORAS

NÚMEROS ENTEROS - APLICACIONES DE NÚMEROS ENTEROS

(Adaptado de contenidos para aprender MEN - Colección Vamos a Aprender)

FECHA DE ENTREGA TRABAJO: 28 DE AGOSTO

Derechos básicos de aprendizaje:

1. Interpreta los números enteros con sus operaciones, en diferentes contextos al resolver problemas de variación, repartos, particiones, estimaciones, etc. Reconoce y establece diferentes relaciones (de orden y equivalencia y las utiliza para argumentar procedimientos)

2. Utiliza las propiedades de los números enteros y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas.

A modo de introducción:

Al considerar el nivel del mar como punto de referencia (suponemos una ciudad como Cartagena, 0 metros sobre el nivel del mar), se pueden usar números positivos para indicar posiciones por encima de este: Nuevo colón se encuentra a una altitud de + 2.500 metros sobre el nivel del mar (m.s.m), Tunja - Boyacá (+ 2.810 m.s.m) o Soatá – Boyacá (+ 2.045 m.s.m) y negativos para las que están por debajo, por ejemplo, un submarino que se encuentra a 500 bajo el nivel del mar (-500 m).

Esta situación nos permite identificar cantidades que se representan por medio de un número positivo o negativo, otro ejemplo, es la temperatura de una nevera, el congelador se encuentra a – 15°C y la parte interna de la nevera a 3C.

De ahora en adelante vamos a trabajar con números positivos y negativos. Es muy sencillo. Sigue la lectura de cada uno de los temas para una mejor comprensión.

TEMA 1: ¿Qué es un número entero?

“El conjunto de los números enteros (Z) comprende los números enteros positivos Z+, los enteros negativos Z- y el 0; es decir:

Z = Z + U Z - U {0}

El conjunto de los números enteros se puede representar como:

Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

TEMA 2: Aplicaciones de los números enteros

1. Números enteros y temperaturas:

Si la temperatura ambiente es de 15°C, se puede deducir que se está disfrutando de una temperatura agradable. Cuando se hace referencia a una temperatura, es conveniente añadir un signo positivo (+) antes del 15 (en este caso) para indicar que la temperatura es de 15°C sobre cero, o un signo negativo (-) si la temperatura es de 15°C bajo cero.

Ejemplo:

En la siguiente tabla se indican las temperaturas que se han registrado en algunas ciudades del mundo:

*Ciudad*	*Temperatura (°C)*
Praga	-8
Ámsterdan	-4
Fráncfort	0
Madrid	+7
Sevilla	+10

a. ¿Cuál fue la ciudad que registro menor temperatura? Respuesta: Praga (-8 °C)

b. ¿Cuál fue la ciudad que registro mayor temperatura? Respuesta: Sevilla (+10°C)

c. ¿Cuál fue la diferencia de temperatura entre la ciudad más cálida y la ciudad más fría?

Solución:

Analizamos el problema: Como nos piden hallar la diferencia tenemos que hacer una resta entre la ciudad más cálida y la ciudad más fría.

Planteamos la operación y la resolvemos:

Sevilla – Praga = 10 – (-8) = 10 + 8 = 18 °C

Justificamos la respuesta: La diferencia entre las dos ciudades es de 18 °C.

2. Números enteros en la economía:

Si se lleva un registro de los ingresos y los gastos, los ingresos se registran en positivo y los gastos en negativo.

Ejemplo:

Si Paula recibe $50.000 se registra como + $50.000 (crédito).

Si Paula gasta $35.000 se registra como - $35.000 (débito).

Las entidades bancarias llaman a los registros positivos créditos y a los negativos débitos.

3. Números enteros y altitud:

Cuando se quiere hablar de la profundidad de una cueva o de la profundidad del mar, también se escribe un signo negativo delante de la cantidad que indica la medida y cuando se quiere hablar de la altura de una montaña o de un edificio, también se escribe un signo positivo delante de la cantidad que indica la medida.

Ejemplo:

Si se afirma que un buceador se encuentra a 18 metros de profundidad, se puede expresar como: - 18 m. Por su parte, si se dice que un avión vuela a 6.700 metros de altura, se puede expresar como: + 6.700 m.

4. Números enteros en la recta numérica:

Los números enteros se pueden representar sobre una recta numérica en la que, los puntos situados de manera uniforme a la derecha del cero representan los enteros positivos y los situados a su izquierda corresponden a los enteros negativos:

Para construir una recta numérica en las que se puedan representar los números enteros, se sigue este procedimiento:

Primero: se dibuja una recta y se señala el origen (0), que es el valor cero.

Segundo: se divide la recta en segmentos iguales a la derecha e izquierda del cero.

Tercero: A la derecha del cero se escriben los números positivos.

Cuarto: a la izquierda del origen se escriben los números enteros negativos.

Cuando nos piden representar un número en la recta numérica, por lo general, se realiza señalándolo con un punto.

Ejemplo: Ubicar en la recta numérica los enteros 1.480 y 1.820.

Como tenemos cantidades muy grandes, elegimos el tramo entre 1.400 y 1.900 de la recta. Luego, se separa la recta de acuerdo con la secuencia en espacios iguales. Para finalizar, se ubica con un punto los números enteros que nos piden:

ACTIVIDAD

1. Averigua el año en el que ocurrió cada evento y usa un número entero para indicarlo. Considera como referencia el año 0:

a. El descubrimiento de América.

b. Nacimiento de Pitágoras.

c. Batalla de Boyacá.

d. Fundación de Nuevo Colón.

e. Nacimiento de Cristo.

2. Expresa cada dato con un número entero (ten en cuenta el signo +, si es positivo o el signo -, si es negativo):

a. Un buzo se encuentra a 30 m bajo el nivel del mar.

b. Andrés retiro de su cuenta $200.000.

c. La temperatura descendió hasta 8 °C bajo cero.

d. Me consignaron a la cuenta $200.000.

e. La temperatura normal del cuerpo es de 37 °C.

3. En la tabla se indican las temperaturas que se han registrado las temperaturas de Nuevo Colón en diferentes horas del día:

Hora	Temperatura
1:00 a.m.	0°C
5:00 a.m.	-4°C
8:00 a.m.	6°C
11:00 a.m.	12°C
2:00 p.m.	17°C

a. ¿Cuál fue la hora en que hizo más frio? ______________________________________

b. ¿Cuál fue la hora en que hizo menos frio? ____________________________________

c. ¿La diferencia de temperaturas entre la hora que hizo más frio y la hora que hizo menos frio fue de 21°C? __________________________________

4. Un helicóptero que vuela a una altura de 1.500 m sobre el nivel del mar, deja caer un objeto que se sumerge 8 m.

a. ¿Qué número representa la posición del objeto bajo el nivel del mar? _______________

b. ¿Qué número representa la posición del helicóptero? __________________

c. ¿Qué distancia separa el helicóptero del objeto una vez se sumerge?

5. Observa la figura en la que se muestra la relación entre las escalas de medición de temperatura en grados Centígrados y Farenheit:

a. ¿En qué temperatura las dos escalas coinciden? _______________

b. Si en cierto desierto la temperatura varió de 20 °C a 40 °C, ¿cuál es la variación de la temperatura en grados Farenheit?

6. Marca en la recta numérica con puntos lo que se indica:

7. La agencia internacional de cambio climático registró la temperatura de cinco lugares considerados los más fríos del mundo: Siberia (- 71 °C); Yukon – Canadá (- 63 °C); los montes Fuji y Argus – Antártida (- 93 °C); mar Báltico (- 10 °C) y Mongolia (- 40 °C).

a. Representa las temperaturas de mayor a menor en un termómetro (usa la recta numérica).

b. ¿Cuál es el lugar más frio del mundo? _______________

8. Completa la siguiente tabla que resume los movimientos bancarios del último mes de Ricardo:

Fecha	Débito	Crédito	Saldo total
Julio 5	$120.000	-
Julio 12	-	$60.000
Julio 19	$30.000	-
Julio 24	-	$60.000
Julio 30	-	$50.000

a. ¿Cuál fue el saldo inicial de Ricardo?

b. ¿Cuál fue el saldo final de Ricardo?

c. ¿Cuánto dinero recibió Ricardo en el mes (creditos)?

d. ¿Cuánto dinero retiró Ricardo en el mes (débitos)?

EVALUACIÓN:

En el proceso evaluativo se tendrán en cuenta los siguientes factores:

- Comunicación constante y participativa en el grupo de whatsapp o vía telefónica.

- Lectura y apropiación de las temáticas propuestas en la guía.

- Desarrollo de las actividades propuestas en la guía de trabajo.

- Retroalimentación de las actividades propuestas.

- Autoevaluación.

RECOMENDACIÓN IMPORTANTE: LEER LA GUÍA, ESTO NOS PERMITE TENER UNA MAYOR CLARIDAD DEL TEMA Y APROPIACIÓN Y COMPRENSIÓN DE LOS TEMAS TRABAJADOS.

CONTACTO PROFESOR JOSÉ LUIS FUENTES GÓMEZ: Cel. 3183662751

FECHA ENTREGA DE ACTIVIDAD: 28 DE AGOSTO

SEMANA DE TRABAJO 7, 8 y 9 - SEGUNDO PERIODO: JUNIO 01 – 19

TRIÁNGULOS - MOVIMIENTOS EN EL PLANO

(Adaptado de contenidos para aprender MEN - Colección Vamos a Aprender)

FECHA DE ENTREGA TRABAJO: 10 DE JULIO

Derechos básicos de aprendizaje:

4. Utiliza y explica diferentes estrategias e instrumentos (regla, compás) para la construcción de figuras planas.

5. Propone y desarrolla estrategias de estimación, medición y cálculo de diferentes cantidades (ángulos, longitudes) para resolver problemas.

TEMA 5: CLASIFICACIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS:

Clasificación de triángulos:

Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y según la medida de sus ángulos, como se observa en la siguiente imagen:

Observa el siguiente vídeo sobre triángulos:

Construcción de triángulos:

Para la construcción de triángulos es importante tener claridad sobre su clasificación de acuerdo a la longitud de sus lados y es indispensable el uso de elementos geométricos (regla, compás, transportador).

Ejemplo: para construir un triángulo equilátero (todos sus lados tienen la misma medida) se realiza el siguiente procedimiento:

Ejemplo 2: para construir un triángulo escaleno (todos sus lados de diferente medida) en el que dos de sus lados midan 30° y 70° y el lado comprendido entre ellos mida 7 cm, se realiza el siguiente procedimiento:

TEMA 6: EL PLANO CARTESIANO

Un plano cartesiano es un sistema de coordenadas que esta formado por dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical, denominadas eje de coordenadas, que dividen el plano en cuatro cuadrantes.

Observa el siguiente plano cartesiano:

Los pasos para construir el plano cartesiano son los siguientes:

1. Se trazan dos rectas perpendiculares.

El punto de intersección lo llamamos origen, que corresponde al punto (0, 0).

La recta horizontal la llamamos eje x o eje de las abcisas. La recta vertical la llamamos eje y o eje de las ordenadas.

2. Graduamos (o dividimos) las rectas en partes iguales para ubicar los números. Positivos hacía la derecha y arriba iniciando desde 0 y negativos hacía la izquierda y abajo (observa la imagen de arriba). Estos números siempre se encuentran a la misma distancia.

3. Los puntos del plano se indican dando sus dos coordenadas P(x, y), que de ahora en adelante las llamaremos parejas ordenadas.

Parejas ordenadas: una pareja ordenada es una representación numérica que consta de dos números escritos en un orden específico. La notación (x, y) representa la pareja ordenada cuyo primer elemento es la x (abcisa) y cuyo segundo elemento es y (ordenada). Las parejas ordenadas se representan con letras mayúsculas.

En el siguiente vídeo nos explican como se construye un plano cartesiano:

Observa el ejemplo del siguiente plano:

La coordenada x indica el desplazamiento sobre el eje horizontal X. Si el valor es positivo, el desplazamiento se realiza hacía la derecha del origen de coordenadas tantas unidades como indique el número; si es negativo, las unidades se correrán hacía la izquierda del origen.

Por su parte, la coordenada y corresponde al desplazamiento sobre el eje Y; hacía arriba si el número es positivo desde el origen o hacía abajo si el número es negativo.

En el ejemplo del plano cartesiano de la derecha se ubican los puntos: A(-2, 6); B(-5, -7); C(3, -4); D(5, 3).

Observa los siguientes vídeos, nos explican algunos ejemplos para ubicar parejas ordenadas en el plano:

El siguiente vídeo sobre cuadriláteros nos ayudará para construirlos en el plano cartesiano:

TEMA 7: TRANSFORMACIONES EN EL PLANO CARTESIANO

En el plano cartesiano es posible realizar movimientos de polígonos, más conocidos como transformaciones en el plano, estas son: traslación, rotación, reflexión (o simetría axial) y homotecias.

En el siguiente vídeo no resumen los movimientos de polígonos en el plano cartesiano. Luego, vamos a continuar nuestra lectura:

1. Traslación: Una traslación es un movimiento en el plano en el que todos los puntos de un polígono se mueven en la misma dirección, y la trayectoria de cada punto es una línea recta. La imagen de cualquier polígono mediante la traslación es congruente con la inicial; conserva la medida de los ángulos, los lados y las áreas.

Ejemplo: Observa el polígono de la derecha, hacemos una traslación del triángulo MNO de 7 unidades hacía la derecha, para obtener el triángulo M´N´O´.

Una traslación se define por la magnitud, la dirección y el sentido:

Magnitud: la magnitud de la traslación corresponde a la cantidad de unidades de desplazamiento.

Dirección: la dirección indica el desplazamiento del polígono (horizontal o vertical).

Sentido: el sentido indica hacía donde se dirige el desplazamiento: arriba, abajo, derecha o izquierda.

Ejemplo: observa el triángulo ABC de la derecha, sobre él se aplico una traslación hacía la derecha y luego hacía arriba.

En el siguiente vídeo nos explican de una forma sencilla la traslación de polígonos:

2. Rotación: La rotación es un movimiento que se realiza en un plano mediante el cual un polígono gira alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación. Para rotar cualquier polígono se tienen en cuenta el centro de rotación, el sentido y la amplitud de giro.

Ejemplo: observa en la imagen el triángulo ABC, sobre él se aplico una rotación de 180° en el sentido de las manecillas del reloj.

Observa el siguiente vídeo relacionado con la rotación de polígonos:

3. Reflexión (o simetría axial): La reflexión es el movimiento que se realiza en un plano mediante el cuál un polígono se refleja respecto a una línea recta denominada eje de reflexión.

Con el movimiento de la reflexión, la imagen del polígono se obtiene como su reflejo en el espejo. Consiste en “dar media vuelta” al polígono.

Ejemplo: observa en la imagen el triángulo ABC, sobre él se aplicó una reflexión sobre un eje de reflexión e. La distancia de cada punto del polígono y la imagen hacía su eje de reflexión es el mismo.

En el siguiente vídeo nos explican de forma detallada la simetría axial:

4. Homotecias: una homotecia es una transformación del polígono en el plano en el que, se conserva la forma del polígono, pero la medida de las longitudes de los lados varía, esto significa que el polígono se puede hacer más grande o más pequeño.

Las homotecias se caracterizan por:

a. Los ángulos correspondientes del polígono y la imagen son congruentes (misma medida).

b. Los lados del polígono y la imagen son paralelos (van en la misma dirección).

c. Los lados correspondientes del polígono y la imagen son proporcionales, es decir, tienen el mismo factor de conversión.

Observa el siguiente vídeo, nos explican algunos ejemplos sobre homotecias:

ACTIVIDAD

1. Construye con regla y compás los triángulos con las condiciones dadas:

a. Isósceles cuya base mida 5 cm.

b. Equilátero cuyos lados tengan 6 cm.

c. Escaleno con lados de 5 cm, 8 cm y 9 cm.

2. ¿Cuántos triángulos como el de la figura de la izquierda caben en la figura de la derecha? Utiliza la regla y el compás para construir los triángulos en la figura.

3. Completa el siguiente plano cartesiano colocando los números en los ejes. Luego, escribe las coordenadas de los puntos representados en el plano:

A ( __ , __) ; B( __ , __) ; C( __ , __) ; D( __ , __) ; E( __ , __) ; F( __ , __)

4. Construye un plano cartesiano y ubica las siguientes parejas ordenadas:

A(2, 3) ; B(4, 6) ; C( - 2, 5) ; D( - 3, 2) ; E( -1, - 3) ; F( 2, - 4) ; G(3 , - 6)

5. Construye un plano cartesiano para cada conjunto de puntos. Luego, une los puntos con líneas rectas para formar un polígono. Escribe el nombre del polígono.

a. A(6, 3) ; B(1, 6) ; C(3, 1) Nombre del polígono: _________________________

b. D(2, 2) ; E( -2, 2) ; F( -2, -2) ; G(2, -2) Nombre del polígono: ____________________

c. H(4, 3) ; I( -4, 3) ; J( -4, -3) ; K(4, -3) Nombre del polígono: _______________________

6. Elabora en un plano cartesiano las siguientes traslaciones e indica las unidades y el sentido que se trasladó la figura:

7. Clasifica los siguientes movimientos de polígonos en el plano (reflexión, rotación u homotecias):

8. Realiza una reflexión del siguiente polígono, si el eje de reflexión (espejo) es el eje y:

A(6, 3) ; B(1, 6) ; C(3, 1) (punto 5 literal a)

9. Realiza una traslación de 3 unidades hacía arriba y luego, 4 unidades a la derecha del siguiente polígono:

D(2, 2) ; E( -2, 2) ; F( -2, -2) ; G(2, -2) (punto 5 literal b)

EVALUACIÓN:

En el proceso evaluativo se tendrán en cuenta los siguientes factores:

- Comunicación constante y participativa en el grupo de whatsapp o vía telefónica.

- Lectura y apropiación de las temáticas propuestas en la guía.

- Desarrollo de las actividades propuestas en la actividad.

- Autoevaluación.

RECOMENDACIÓN IMPORTANTE: LEER LA GUÍA, ESTO NOS PERMITE TENER UNA MAYOR CLARIDAD DEL TEMA Y APROPIACIÓN Y COMPRENSIÓN DE LOS TEMAS TRABAJADOS.

FECHA ENTREGA DE ACTIVIDAD: 10 DE JULIO

SEMANA DE TRABAJO 4, 5 y 6 - SEGUNDO PERIODO: JUNIO 01 – 19

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO - GEOMETRÍA

(Adaptado de contenidos para aprender MEN)

FECHA DE ENTREGA TRABAJO: 19 DE JUNIO

Derechos básicos de aprendizaje:

2. Utiliza las propiedades de los números naturales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas.

4. Utiliza y explica diferentes estrategias e instrumentos (regla, compás) para la construcción de figuras planas.

5. Propone y desarrolla estrategias de estimación, medición y cálculo de diferentes cantidades (ángulos, longitudes) para resolver problemas.

A modo de introducción:

En la guía anterior estudiábamos conceptos elementales de la teoría de números como son número primo, compuesto y máximo, común divisor. En esta guía de trabajo vamos a finalizar esta temática estudiando el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales y su aplicación en la solución de problemas, este tema ya se ah estudiado con anterioridad en primaria, por tanto, los conocimientos previos que tenemos nos van a ayudar a comprender más fácilmente los procedimientos que vamos a realizar.

A continuación, vamos a iniciar nuestro estudio de geometría, repasando algunos elementos básicos de geometría y todo lo relacionado con ángulos y polígonos, su construcción, clasificación y aplicación en la solución de problemas. Vamos a iniciar:

TEMA 1: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

¿Qué es el mínimo común múltiplo?

El mínimo común múltiplo m.c.m. de varios números es el menos de sus múltiplos comunes diferentes de 0.

Observa el siguiente vídeo para comprender mejor el concepto de mínimo común múltiplo:

Ejemplo: En un vídeo juego aparece un pájaro cada 18 segundos y una tortuga cada 20 segundos:

Si Andrés acaba de iniciar el juego. ¿En cuánto tiempo verá aparecer los dos animales simultáneamente otra vez?

Solución: en primer lugar, debemos determinar los múltiplos de los números (18 y 20) que es el tiempo en que aparecen los dos animales en el vídeo juego:

Múltiplos de 18: M18 = 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, …

Múltiplos de 20: M20 = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, …

A continuación, determinamos el mínimo común múltiplo de los dos números (18 y 20) que es el menor múltiplo en común y corresponde al momento en que van a aparecer los dos animales al mismo tiempo:

m.c.m (18 y 20) = 180

Por tanto, el pájaro y la tortuga volverán a aparecer al mismo tiempo a los 180 segundos de iniciado el juego, es decir, a los tres minutos, ya que un minuto equivale a 60 segundos.

Cálculo del mínimo común múltiplo por medio de descomposición factorial:

El siguiente vídeo nos sirve para recordar algunos conceptos de descomposición factorial:

Una forma rápida para determinar el mínimo común múltiplo es por medio de la descomposición de sus factores primos.

Ejemplo: determinar el mínimo común de los números: 20, 50 y 100.

Para determinar el m.c.m se realizan los siguientes pasos:

1. Se descomponen los tres números en sus factores primos. Primero por 2 si es posible, luego por 3, 5, 7 y así sucesivamente, siempre que sea posible y las veces que se pueda.

En el ejemplo, se puede dividir primero por 2, ya que todos son divisibles por dos y así sucesivamente hasta que sea posible dividir por dos.

Luego, por 5, ya que son divisibles por 5, y así sucesivamente hasta que el residuo es 1 y no se pueda dividir más.

2. Se multiplican los factores primos. En el ejemplo 2 x 2 x 5 x 5 = 100.

3. Por tanto, el m.c.m de 20, 50 y 100 es 100.

TEMA 2: ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA – RECTAS PARALELAS, SECANTES Y PERPENDICULARES

Observa el siguiente vídeo, nos explican cuales son los elementos básicos de geometría y la forma correcta de denotarlos:

En geometría es importante claridad sobre algunos conceptos básicos como: punto, recta, plano, segmento y semirrecta, ya que son los que usamos cotidianamente para describir figuras:

1. Punto: es el elemento más sencillo y quizás uno de los más importantes. Se representa con una pequeña marca y se nombra con letras mayúsculas. Por ejemplo: A, B, C, P, Q, R.

2. Recta: es una sucesión de puntos que se prolonga infinitamente en dos sentidos opuestos. Las rectas se simbolizan con letras minúsculas o usando dos puntos. Por ejemplo: la recta a o si la recta pasa por los puntos A y B, se escribe AB, colocando una línea sobre los dos puntos.

3. Semirrecta: es una sección de una recta, parte desde un punto A y se prolonga indefinidamente en una dirección. Por ejemplo, la semirrecta que pasa por los puntos A y B, se escribe AB, colocando una flecha en una dirección sobre los dos puntos.

4. Segmento: es una parte de la recta comprendida entre dos puntos A y B. Por ejemplo, la recta que pasa por los puntos A y B, se escribe AB, colocando una flecha en ambos sentidos sobre los dos puntos.

5. Plano: se conforma por un número indefinido de puntos. Por ejemplo, una hoja de papel o una superficie plana como una mesa, nos dan una idea de lo que es un plano.

Rectas paralelas, perpendiculares y secantes:

Dos rectas l y m coplanares, es decir, que se encuentran en el mismo plano se pueden clasificar en: paralelas, secantes y perpendiculares:

En el siguiente vídeo nos explican esta clasificación:

1. Rectas paralelas: dos rectas l y m son paralelas si al prolongarse infinitamente en una dirección no se tocan. Se denota como: l || m.

2. Rectas perpendiculares: dos rectas l y m son perpendiculares si se interseca en un punto (es decir, se cortan o tocan en un mismo punto) y estas rectas forman ángulos rectos (es decir, miden 90°).

3. Rectas secantes: dos rectas l y m son secantes si se intersecan en un solo punto.

TEMA 3: ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN

¿Qué es un ángulo?

Un ángulo es la unión de dos semirrectas con un punto en común. Las semirrectas se denominan lados y el punto en común se denomina vértice.

En el siguiente vídeo repasamos algunos conceptos fundamentales para comprender la noción de ángulo:

Observa el siguiente ejemplo:

Medición de ángulos: para medir ángulos utilizamos el transportador como herramienta geométrica y así poder su clasificación.

Para usar el transportador y realizar la medición, ubicamos el centro del transportador en el vértice del ángulo sobre el lado inicial, este nos permite hacer la medición de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, según la posición del ángulo dado.

Clasificación de ángulos: los ángulos se pueden clasificar según su medida, la suma de sus medidas y según su posición.

1. Según su medida: los ángulos pueden ser:

a. Agudos: miden menos de 90°.

b. Recto: miden 90°.

c. Obtuso: miden más de 90° y menos de 180°.

d. Llano: miden 180°.

e. Cóncavo: miden más de 180° y menos de 360°.

f. Completo: miden 360°.

Observa el siguiente vídeo sobre ángulos:

2. Según la suma de sus medidas: los ángulos pueden ser:

*Ángulos complementarios*	*Ángulos suplementarios*
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas es de 90°. 40° + 50° = 90°	Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas es de 180°. 140° + 40° = 180°

3. Según su posición: los ángulos pueden ser:

*Consecutivos*	*Adyacentes*	*Opuestos por el vértice*
Dos ángulos son consecutivos si tienen el vértice en común y uno de sus lados.	Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y sus lados no comunes están sobre la misma línea recta.	Dos ángulos son opuestos por el vértice si los dos lados de uno de ellos, son las prolongaciones de los lados del otro.

Para finalizar el tema de ángulos vamos a ver el siguiente vídeo de repaso:

TEMA 4: POLÍGONOS Y CLASIFICACIÓN

¿Qué es un polígono?

Un polígono es una figura coplanaria compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos no colineales que solo se intersecan en los extremos. Estos segmentos se denominan lados, y los puntos que se intersecan se denominan vértices.

Observa le siguiente vídeo sobre polígonos:

Elementos de un polígono:

Los elementos de un polígono son:

1. Lado: son cada uno de los segmentos de recta que forman el polígono. En el ejemplo: DE, EA, AB, BC y CD son lados del polígono.

2. Ángulo interno: son los ángulos formados por dos de segmentos consecutivos.

3. Vértice: son los puntos de intersección de los segmentos del polígono. En el ejemplo: A, B, C, D y E son los vértices del polígono.

4. Diagonal: corresponde al segmento de recta que une dos vértices no consecutivos del polígono.

En el ejemplo: CE es una diagonal del polígono.

Clasificación de polígonos:

1. Según su cantidad de lados: Los polígonos se clasifican se clasifican según su cantidad de lados:

2. Según su la medida de sus lados: Los polígonos se clasifican en regulares e irregulares:

a. Regulares: cuando todos sus lados tienen la misma medida. Por ejemplo, el cuadrado.

b. Irregulares: cuando sus lados tienen diferente medida. Por ejemplo, el rectángulo.

En el siguiente vídeo nos explican la clasificación de polígonos:

3. Según la medida de sus ángulos: Los polígonos se clasifican en cóncavos y convexos:

a. Polígono convexo: un polígono es convexo cuando sus ángulos miden menos de 180°.

b. Polígono cóncavo: un polígono es cóncavo cuando alguno de sus ángulos mide más de 180°.

ACTIVIDAD

1. Determina el mínimo común múltiplo de los siguientes números:

a. 20 y 24

b. 12, 18 y 27

2. Resuelve los siguientes problemas:

a. A lo largo de una carretera de 1000 km de longitud se encuentra un teléfono cada 40 km, un restaurante cada 30 km y un puesto de emergencias cada 45 km. ¿En cuáles kilómetros se encuentran juntos el teléfono, el restaurante y el puesto de emergencias?

b. Fernando visita a su mamá cada 20 días, Santiago lo hace cada 45 días y Manuel lo hace cada 60 días. Si hoy coincidieron, ¿cuántos días tienen que pasar para que se vuelvan a encontrar?

3. A partir de las definiciones dadas en la clasificación de ángulos y tus conocimientos previos, representa cada uno de estos ángulos con la ayuda del transportador:

a. Ángulo agudo: ejemplo:

b. Ángulo obtuso y ángulo llano.

c. Ángulo cóncavo y ángulo completo.

d. Ángulos consecutivos y ángulos adyacentes.

e. Ángulos opuestos por el vértice.

4. Representa gráficamente cada uno de los ángulos con ayuda del transportador y clasifícalos según su medida:

a. 50°

b. 100°

c. 150°

d. 210°

e. 320°.

5. Mira a tu alrededor, ¿cuántos ángulos puedes localizar? Dibuja uno de ellos.

6. Completa la siguiente tabla:

*Polígono*	*Número de lados*	*Número de diagonales*
Heptágono
Octágono
Dodecágono
Pentágono

EVALUACIÓN:

En el proceso evaluativo se tendrán en cuenta los siguientes factores:

- Comunicación constante y participativa en el grupo de whatsapp o vía telefónica.

- Lectura y apropiación de las temáticas propuestas en la guía.

- Desarrollo de las actividades propuestas en la actividad.

- Elaboración del calendario matemático.

- Autoevaluación.

RECOMENDACIÓN IMPORTANTE: LEER LA GUÍA, ESTO NOS PERMITE TENER UNA MAYOR CLARIDAD DEL TEMA Y APROPIACIÓN Y COMPRENSIÓN DE LOS TEMAS TRABAJADOS.

FECHA ENTREGA DE ACTIVIDAD: 19 DE JUNIO

SEMANA DE TRABAJO 2 y 3 - SEGUNDO PERIODO: MAYO 18 – 29

TEORÍA DE NÚMEROS - CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD - MÁXIMO COMÚN DIVISOR

(Adaptado de contenidos para aprender MEN)

FECHA DE ENTREGA TRABAJO: 29 DE MAYO

Derechos básicos de aprendizaje:

1. Interpreta los números naturales con sus operaciones, en diferentes contextos, al resolver problemas de estimación y variación.

2. Utiliza las propiedades de los números naturales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas.

A modo de introducción:

En la actividad de la semana anterior estudiamos los conceptos de múltiplo y divisor de un número, en esta semana vamos a utilizar estos dos conceptos para conocer los criterios de divisibilidad y determinar cuándo un número es divisible de forma exacta por otro número natural.

Vamos a iniciar, lo primero que debemos conocer es el concepto de criterio de divisibilidad:

¿Qué es un criterio de divisibilidad?

“Los criterios de divisibilidad nos permiten determinar cuándo un número natural se puede dividir por otro de forma exacta, sin necesidad de realizar la división.”

Observa el siguiente ejemplo:

¿Cuáles son estos criterios?

En la siguiente tabla se resumen los criterios de divisibilidad:

*Divisibilidad por*	*Criterio*
2	Si la última cifra del número natural es *par*
3	Si la suma de sus cifras es un *múltiplo de 3*
4	Si las dos últimas cifras del número es *divisible entre 4* o si terminan en 00
5	Si la última cifra del número natural es 0 o 5
6	Si el número es divisible entre 2 y 3
9	Si la suma de sus cifras es un *múltiplo de 9*
10	Si la última cifra del número natural es 0

Veamos unos ejemplos, observa la siguiente tabla y ten en cuenta los criterios de divisibilidad de la tabla anterior:

*Número*	*Divisible entre*
*Número*	2	3	4	5	6	9	10
136	Si, porque su última cifra es par	No, la suma de sus cifras 1+3+6=10, no es múltiplo de 3.	Si, las dos últimas cifras, 36 son múltiplo de 4, 4x9=36	No, su última cifra no es 0 o 5.	No, puede ser divisible entre 2, pero no entre 3.	No, la suma de sus cifras 1+3+6=10, no es múltiplo de 9.	No, la última cifra no es 0.
3210	Si, porque su última cifra es par	Si, la suma de sus cifras 3+2+1+0=6, es múltiplo de 3.	No, las dos últimas cifras, 10 no es múltiplo de 4.	Si, su última cifra es 0 o 5.	Si, es divisible entre 2 y 3.	No, la suma de sus cifras 3+2+1+0=6, no es múltiplo de 9.	Si, la última cifra es 0.

A continuación, vamos a estudiar dos tipos de números que son importantes en el estudio de la matemática, hablaremos de los números primos y números compuestos.

¿Qué es un número primo?

“Un número primo es aquel que solo tiene dos divisores, se puede dividir por 1 y por sí mismo”

Observa los siguientes vídeos:

¿Qué es un número compuesto?

“Un número compuesto es aquel que tiene más de dos divisores”

Ejemplo: En la siguiente tabla tenemos los primeros números naturales, vamos a determinar cuáles son primos y cuáles compuestos, aplicando los criterios de divisibilidad:

*Número*	*Primo*	*Compuesto*
1	Si, es divisible entre 1 y sí mismo, únicamente.	No
2	Si, es divisible entre 1 y 2, únicamente.	No
3	Si, es divisible entre 1 y 3, únicamente	No
4	No	Si, es divisible entre 1, 2 y 4
5	Si, es divisible entre 1 y 5, únicamente.
6	No	Si, es divisible entre 1, 2, 3 y 6.
7	Si, es divisible entre 1 y 7, únicamente.
8	No	Si, es divisible entre 1, 2, 4 y 8.
9	No	Si, es divisible entre 1, 3 y 9

Existe un método sencillo de determinar los números primos y compuestos, conocido como la Criba de Eratóstenes. En las actividades de esta semana la vamos a construir siguiendo los pasos que se detallarán más adelante.

Descomposición de un número en sus factores primos

Descomponer un número en sus factores primos significa escribirlo como el producto de números primos:

Observa el siguiente ejemplo:

A continuación, observa el siguiente vídeo para entender mejor el ejemplo:

Para descomponer un número en sus factores primos se siguen estos pasos (observa el ejemplo):

- Se traza una línea vertical (derecha de la imagen) y se escribe el número a descomponer en la parte superior izquierda.

- Se divide el número por el menor número primo que sea posible: (2, 3, 5, …). Se puede dividir varias veces por el mismo número primo.

- Se escribe el divisor (el número primo) en l parte superior derecha y el cociente debajo del primer número.

- Se repite el proceso hasta que en la parte izquierda aparezca 1; con esto, la descomposición habrá terminado.

Coloca atención al siguiente vídeo:

Observa el siguiente ejemplo:

A continuación, vamos a estudiar el máximo común divisor de dos o más números naturales:

Máximo común divisor (m.c.d)

“El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números naturales es el mayor número que los divide sin dejar residuo”

Para hallar el máximo común divisor realizamos el siguiente procedimiento:

- Descomponemos en sus factores primos cada número.

- Multiplicamos los factores que tienen en común.

Observa el vídeo y a continuación los siguientes ejemplos:

a. Determina el máximo común divisor de 30 y 36:

1. Descomponemos los dos números en sus factores primos:

2. Multiplicamos los menores factores en común: 2 x 3= 6.

Así, el máximo común divisor de 30 y 36 es 6.

b. Determinar el máximo común divisor de 72, 108 y 60:

1. Descomponemos los números en sus factores primos. Una forma sencilla es descomponer los números al mismo tiempo por un número primo en común.

Observa que los tres números son divisibles entre 2, al hacer esta división, los cocientes nuevamente se pueden dividir entre 2, para finalizar, estos cocientes se pueden dividir entre 3.

2. Al multiplicar los factores primos en común tenemos que: 2 x 2 x 3 = 12. Por tanto, el máximo común divisor es 12.

Para repasar este tema y realizar la actividad, observa el siguiente vídeo:

ACTIVIDAD

Escriba SI en la casilla correspondiente de la tabla siguiente, en caso que el número que aparece en la fila de la parte superior sea un divisor del número que está en la columna de la izquierda; y escriba “NO” en caso contrario. Aplica adecuadamente los criterios de divisibilidad y observa los ejemplos dados:

2. Resuelve los siguientes problemas:

a. Alberto tiene 125 semillas que quiere sembrar en filas, cada una con la misma cantidad. ¿De cuántas formas puede hacerlo?

b. Samuel tiene 18 canicas. ¿Podrá hacer grupos de tres canicas sin que le sobre ninguna?

c. Leonardo quiere separar diez lápices en grupos con igual número cada uno. ¿De cuántas formas puede hacerlo?

3. Construcción de la Criba de Eratóstenes:

Observa la siguiente tabla. Luego, realiza los pasos descritos:

a. Encierra el 2 y luego colorea todos los múltiplos de 2.

b. Encierra el 3 y luego colorea todos los múltiplos de 3.

c. Encierra el 5 y luego colorea todos los múltiplos de 5.

d. Encierra el 7 y luego colorea todos los múltiplos de 7.

e. Encierra todos los números que quedaron sin colorear.

f. Escribe todos los números que quedaron encerrados: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Relaciona con una línea cada número de la columna B con la descomposición en factores primos que le corresponde en la columna A. Revisa los ejemplos anteriores:

5. Calcula el máximo común divisor de los siguientes grupos de números. Observa el ejemplo:

a. m.c.d (18 y 27) =

b. m.c.d (36 y 54) =

A continuación, estudia el siguiente problema:

“Un agricultor recoge 96 manzanas, 68 peras y 128 naranjas. Si desea armar cajas de tal forma que en cada una de ellas se encuentre la mayor cantidad posible de frutas, ¿cuántas cajas necesita? ¿cuántas frutas debe empacar en cada caja?”

Solución:

PASO 1: Comprender el problema:

Tenemos que encontrar el número de cajas que se necesitan. Luego, la mayor cantidad de frutas que podemos colocar en cada caja. Podemos ver que tenemos que buscar solución a dos problemas.

PASO 2: Elaborar un plan y llevarlo a cabo:

Dado que nos piden la mayor cantidad de frutas en cada caja, debemos encontrar el máximo común divisor de 96, 68 y 128, descomponemos cada número en sus factores primos:

Tenemos que: 96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3

68 = 2 x 2 x 17

128 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Por tanto, el máximo común divisor es: 2 x 2 = 4

Para obtener el número de frutas en cada caja dividimos la cantidad de frutas en las 4 cajas:

El número de manzanas es: 96/4 = 24

El número de peras es: 68/4 = 17

El número de naranjas es: 128/4 = 32

PASO 3: Verificar y redactar la respuesta:

Dado que 4 es el m.c.d tenemos que organizar las frutas en 4 cajas con igual cantidad de frutas.

En cada caja tenemos 24 manzanas, 17 peras y 32 naranjas.

6. Resuelve el siguiente problema aplicando el máximo común divisor (m.c.d). El ejemplo anterior nos sirve para resolverlo:

“Se tienen 60 lápices, 90 esferos y 120 borradores, y se quiere distribuir paquetes en los que haya estos tres tipos de artículos. ¿Cuál es el máximo número de paquetes que se puede armar usando todos los artículos? ¿Cuántos lápices, esferos y borradores deben ir en el paquete?”

FECHA ENTREGA DE ACTIVIDAD: MAYO 29 DE 2.020

SEMANA DE TRABAJO 1 - SEGUNDO PERIODO: MAYO 11 – 15

TEORÍA DE NÚMEROS - MÚLTIPLOS Y DIVISORES

(Adaptado de contenidos para aprender MEN)

FECHA DE ENTREGA TRABAJO: 15 DE MAYO

Derechos básicos de aprendizaje:

Utiliza las propiedades de los números naturales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas.

A modo de introducción:

En esta semana de trabajo vamos a comprender dos conceptos importantes en la teoría de números y la solución de problemas cotidianos: haremos referencia y aprenderemos sobre múltiplos y divisores, los múltiplos generalmente los hemos relacionados al aprender las tablas de multiplicar en primaria y los divisores, como aquellos números en el los que se puede dividir para obtener una división exacta.

Primero, vamos a ver el siguiente vídeo:

Ahora vamos a estudiar sobre múltiplos y divisores, iniciemos con los múltiplos:

¿Qué son los múltiplos de un número?

“Los múltiplos de un número son todos los posibles resultados de multiplicar ese número por cada uno de los números naturales.”

Observa el siguiente vídeo que te ayudará a comprender mejor el concepto de múltiplo:

Observa el siguiente ejemplo:

Determinar los múltiplos de 7:

¿Sencillo cierto? Lo que te dije en la introducción, realizamos lo que nosotros llamamos tablas de multiplicar, aunque no es el término correcto para nombrar este concepto.

Propiedades de los múltiplos:

Los múltiplos de un número cumplen las siguientes propiedades:

- Cero (0) es múltiplo de todos los números naturales. Observa el ejemplo, 7 x 0 = 0.

- Cada número es múltiplo de si mismo. Observa el ejemplo, 7 es múltiplo de 7, ya que 7 x 1 = 7.

- El conjunto de los múltiplos es infinito.

A continuación, vamos a estudiar el concepto de divisor de un número:

¿Qué son los divisores de un número natural?

“Los divisores de un número natural son los números que lo pueden dividir en una división exacta.”

El siguiente vídeo nos ayudará a tener mejor claridad sobre el concepto de divisor:

Por ejemplo:

Determinar los divisores de 12:

Si dividimos 12 por los demás números naturales no obtenemos divisiones exactas, por tanto, no son divisores de 12.

Una forma sencilla de determinar los divisores es dividiendo por 1 hasta el mismo número, en el ejemplo, dividimos desde 1 hasta 12.

Propiedades de los divisores:

Los divisores de un número cumplen las siguientes propiedades:

- Uno (1) es divisor de todo número natural. En el ejemplo, 1 es divisor de 12.

- Todo número es divisor de sí mismo. En el ejemplo, 12 es divisor de 12.

- El conjunto de los divisores de un número es finito.

Para afianzar estos conceptos vamos a ver el siguiente vídeo:

A partir de los anteriores conceptos vamos a desarrollar la actividad de esta semana:

ACTIVIDAD

FECHA DE ENTREGA 15 DE MAYO

1. En la siguiente tabla vamos a organizar diferentes grupos de palillos de tal forma que cada grupo cuente con la misma cantidad de palillos:

Número de palillos	Número de grupos	Cantidad de palillos por grupo	Divisores de 15
15	1	15	1
15
15
15

2. Escribir números naturales adecuados en el cuadro al lado del 3 para obtener el correspondiente kilómetro de cada señalización:

a. ¿Qué nombre reciben los números que aparecen em la columna de la izquierda de la tabla? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Escriba múltiplos comunes de los siguientes pares de números, justificando su respuesta:

Números	Múltiplo en común	Justificación
6 y 5	30	Ya que: 6 x 5 = 30
2 y 5
4 y 5
2 y 3

4. Completa la tabla, teniendo en cuenta el ejemplo realizado:

5. Escriba los ocho primeros múltiplos de 2, 5 y 10:

a. ¿Qué múltiplos tienen en común? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b. ¿Cuál es el mayor múltiplo en común? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c. ¿Cuál es el menor múltiplo en común? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

AQUÍ FINALIZAMOS NUESTRAS ACTIVIDADES, RECUERDA QUE LA FECHA DE ENTREGA ES EL 15 DE MAYO.

ÉXITOS, UN ABRAZO.

De aquí en adelante encontramos las actividades de las semanas anteriores, cuando tengas un tiempo libre las puedes revisar para fortalecer estos nuevos conocimientos, más adelante serán de mucha utilidad.

SEMANA DE TRABAJO 10: Mayo 04 – 08

PLAN DE REFUERZO, APOYO Y NIVELACIÓN

NÚMEROS NATURALES – OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES – ECUACIONES E INECUACIONES

(Adaptado de contenidos para aprender MEN)

Derechos básicos de aprendizaje:

2. Utiliza las propiedades de los números naturales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas.

3. Reconoce y establece diferentes relaciones (orden y equivalencia) entre elementos de diversos dominios numéricos y los utiliza para argumentar procedimientos sencillos.

9. Opera sobre números desconocidos y encuentra las operaciones apropiadas al contexto para resolver problemas.

Actividad de refuerzo, apoyo y nivelación:

Para el desarrollo de esta actividad es importante identificar aquellas actividades que no han sido entregadas en las fechas establecidas, dichas actividades son:

1. Números naturales: correspondiente a la semana 8 de trabajo comprendida entre el 20 – 24 de abril.

2. Ecuaciones e inecuaciones: correspondiente a la semana 9 de trabajo comprendida entre el 27 – 30 de abril.

Los estudiantes que no han presentado dichas actividades las pueden presentar en el transcurso de la semana del 04 – 08 de mayo, como plazo máximo.

Es importante adelantar el desarrollo de las actividades en las fechas establecidas y los horarios correspondientes al área de matemáticas.

A continuación encontraremos la temáticas que vamos a desarrollar esta semana, lee con atención las definiciones dadas y los ejemplos, esto te ayudará a desarrollar la actividad propuesta. En tu cuaderno sólo desarrollarás la actividad.

TEMA 4: ECUACIONES E INECUACIONES

SEMANA 9: ABRIL 27 - 30

(Adaptados de Contenidos para Aprender: MEN)

Derechos básicos de aprendizaje:

2. Utiliza las propiedades de los números naturales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas. 3. Reconoce y establece diferentes relaciones (orden y equivalencia) entre elementos de diversos dominios numéricos y los utiliza para argumentar procedimientos sencillos. 9. Opera sobre números desconocidos y encuentra las operaciones apropiadas al contexto para resolver problemas.

Ecuaciones e inecuaciones:

Las ecuaciones están relacionadas con la igualdad y las inecuaciones con la desigualdad.

Igualdad:

Una igualdad es una expresión que compara dos cantidades mediante el signo igual.

Las anteriores expresiones reciben el nombre de igualdades numéricas.

Ecuaciones:

Una ecuación es una igualdad en la que hay presentes una o varias cantidades desconocidas llamadas variables o incógnitas, por lo general, se denotan con letras minúsculas: x, y, z, a b, m, n, p, entre otras.

Por ejemplo:

En las anteriores ecuaciones se involucran las variables x, y.

Los elementos de una ecuación son:

Solución de una ecuación:

Resolver una ecuación significa conocer el valor de la variable o incógnita presenta en la ecuación, para esto, es importante tener en cuenta la propiedad uniforme de las igualdades:

“Si en los dos miembros de una ecuación, se suma, se resta, se multiplica o se divide por la misma cantidad, la igualdad se mantiene, es decir, si a = b y c es un número natural, entonces:

Observa los siguientes vídeos sobre solución de ecuaciones, esto de ayudará a comprender mejor los ejemplos y ayudar al desarrollo de la actividad:

https://www.youtube.com/watch?v=4AixPIIV05E&t=368s

https://www.youtube.com/watch?v=FLW-7U3BsVE

https://www.youtube.com/watch?v=_zMzcqeYuzc

Ejemplo: solucionar las siguientes ecuaciones:

Desigualdad:

Una desigualdad es toda relación que se establece entre números naturales mediante las siguientes relaciones:

Inecuaciones:

Una inecuación es una desigualdad en la que se encuentran presentes una o varias variables o incógnitas.

Por ejemplo:

Solución de desigualdades:

Para solucionar una desigualdad se realiza el mismo procedimiento que en las ecuaciones aplicando adecuadamente la propiedad uniforme de las igualdades.

Observa el siguiente vídeo sobre solución de inecuaciones, esto de ayudará a comprender mejor los ejemplos y ayudar para el desarrollo de la actividad:

https://www.youtube.com/watch?v=y9vDsarVxtg

Por ejemplo:

La solución de la inecuación son todos los números naturales menores o iguales a 9, como se había observado en el ejemplo anterior.

ACTIVIDAD ECUACIONES E INECUACIONES:

ABRIL 27 - 30

(Adaptados de Contenidos para Aprender: MEN)

1. Observe y analice cuidadosamente los ejemplos que se muestran en la tabla y úselos como guía para completar la misma:

2. Escriba un valor para x que haga verdadera la ecuación:

3. Escriba con sus propias palabras el concepto de ecuación: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Represente simbólicamente cada una de las siguientes expresiones, la primera es un ejemplo para representar las otras expresiones:

a. Una cantidad x de manzana más tres manzanas es igual a 10 manzanas:

b. Cinco veces una cantidad x de manzanas menos dos manzanas es igual a 8.

c. Una cantidad x de manzanas menos seis manzanas es igual a 12 manzanas.

d. Dos veces una cantidad x de peras más tres peras es igual a 15 peras.

e. Una cantidad x de ciruelas más 10 ciruelas es igual a 16 ciruelas.

5. Resuelve las siguientes inecuaciones:

FECHA ENTREGA ACTIVIDADES: ABRIL 30 DE 2.020

MUCHOS ÉXITOS.

ACTIVIDAD SEMANA 8

(20 - 24 de abril)

TEMA 3: NÚMEROS NATURALES:

Para iniciar, una pequeña introducción sobre los números naturales, observa el siguiente vídeo (haz click en el enlace) y a continuación contesta las preguntas en tu cuaderno:

https://www.youtube.com/watch?v=6ksSkHgcKd0

1. ¿Porqué son importantes los números naturales en nuestra vida cotidiana?

2. ¿En cuáles actividades diarias utilizas los números naturales?

A partir del lo anterior podemos definir los números naturales de la siguiente manera:

"Los números naturales son aquellos que sirven para para contar los elementos de un conjunto determinado. El conjunto de los números naturales se simboliza con la letra N y se determina por extensión de la siguiente manera:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}"

Ahora abordaremos las operaciones con números naturales, muy importantes para la solución de problemas que se presenten en nuestra vida cotidiana:

Operaciones con números naturales:

En el conjunto de los números naturales se definen las siguientes operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

En los siguientes vídeos abordaremos cada una de ellas, presta mucha atención:

1. Adición y sustracción con números naturales:

https://www.youtube.com/watch?v=OnPAxtHXDj0

2. Multiplicación de números naturales:

https://www.youtube.com/watch?v=JvheD8VqBhA

3. División de números naturales:

https://www.youtube.com/watch?v=diU0BCV9YIc

4. Potenciación de números naturales:

https://www.youtube.com/watch?v=ZV6vo7GTjUA

5. Radicación de números naturales:

https://www.youtube.com/watch?v=l0KNJ6BPw1Q

ACTIVIDAD NÚMEROS NATURALES

(Adaptados de Contenidos para Aprender: MEN)

1.Resuelve los siguientes problemas que involucran operaciones con números naturales:

a. Entre las montañas más altas de Colombia se encuentra el pico Cristóbal Colón con una altura aproximada a los 5775 metros sobre el nivel del mar. El Everest es una de las montañas más altas del mundo y su altura es 3073 metros más alta que el pico Cristóbal Colón aproximadamente; ¿Cuál es la altura del Everest?

Realiza cada uno de los problemas usando el siguiente esquema planteado por George Polya para la resolución de problemas:

*COMPRENDER EL PROBLEMA* (Identifica los datos principales del problema)	*ELABORAR UN PLAN Y LLEVARLO A CABO* (Realiza un gráfico que explique el problema, determina la operación adecuada y resuélvela)	*VERIFICAR Y REDACTAR LA RESPUESTA* (Comprueba que la operación este correcta y redacta la respuesta)

b. Juan tiene 876 piezas de rompecabezas y Ana tiene 6 veces la cantidad de Juan. ¿Cuántas fichas tiene Ana?

c. Una empresa dedicada a la producción de flores exportó 236.563 rosas; 124.876 claveles y 245.320 orquídeas. ¿Cuántas flores exportó en total?

d. Un alpinista sube en un día 435 metros del monte Everest, al siguiente día sube 312 metros y resbala por un accidente 15 metros. Al siguiente día sube 250 metros para llegar a la cima. ¿Qué altura ascendió al alpinista?

e. María, Camilo y Juan son hermanos trillizos de grado 6. Ellos desean ir a la excursión anual que realiza la escuela como despedida de grado. Cada estudiante debe pagar $11.500 en transporte y $7.200 en almuerzo. ¿De cuánto dinero deben disponer sus padres para que puedan asistir los tres a la excrusión?

f. En el municipio de Nuevo Colón hay 4.500 habitantes y 90 árboles. ¿Cuántos árboles hay por cada habitante?

g. Paula y Felipe recorrieron 9.500 metros de camino a Nuevo Colón desde Tierra negra en tres etapas. En la primera recorrieron 2500 metros, y en la segunda 3.000 metros. ¿Cuántos metros recorrieron en la tercera etapa?

h. Una canastilla de duraznos pesa 20 kg y una de ciruelas 18 kg. Si un camión transporta 200 canastillas de durazno y 150 de ciruela, ¿cuánto pesa toda la mercancía?

A partir de aquí encontrarás las temáticas trabajadas en las semanas anteriores, cuando tengas tiempo las puedes revisar y repasar, este ejercicio nos permite fortalecer nuestros conocimientos.

TEMA 1: TEORÍA DE CONJUNTOS